函数 极限 连续

函数

函数概念 复合函数 反函数 初等函数都是什么。重点会画初等函数大致图像

函数性态:

1.单调性,(注意导数大于零能推出函数单调增,但单调增不能推出导数大于零。导数大于等于零是函数单调不减的充分必要条件)

2.奇偶性,熟悉特殊的奇函数偶函数。奇函数的导数是偶函数,偶函数导数是奇函数。连续的奇函数其原函数是偶函数,偶函数其中一个特殊的原函数是奇函数。

3.周期性(很基础);4.有界性证明方法有四种(2常用,34要灵活用)①定义 ②fx在【a,b】连续,推出在闭区间a,b有界 fx在开区间上连续(包括无穷),且左端点的右极限和右端点的左极限存在,推出fx在(a,b)有界 ④f‘(x)在区间I(有限)上有界,推出fx在I上有界。

极限

极限概念:数列极限和函数极限。注意分左右极限求极限问题主要①分段函数分界点处(判断连续也要留意)②常见的 含有绝对值,e,arctan∞

极限的性质 1.局部有界性 极限存在 该点所在函数的去心邻域有界 2.重点保号性①极限值保函数值:极限值A大于零,则x属于该点去心邻域时,函数值fx大于零。 ②函数值保极限值:x属于该点去心邻域时,fx≥0,则极限值A大于等于0.

极限存在准则 1.夹逼准则 2.单调有界准则 单调性判断的3种方法①xn+1-xn≥0(≤0) ②xn不变号,n+1项与n项之比与1做比较 ③初值x1=a,xn+1项=f(xn) 的情况 1)fx在I上为增函数 x1小于x2为单调增,x1大于 x2为单调增减 2)fx为减函数,xn不单调 (技巧在证明数列收敛时单调有界使用③时,即便没x1,在证明fx为增函数之后只需证明xn上下均有界即可)

无穷大和无穷小概念; 数列无穷大量一定是无界变量,无界变量不一定时无穷大量

如何算极限(吴老师说了这个重点,但和没说差不多)基本上常用的等价无穷小背会;洛必达(数列n要先换成x) 泰勒;数列固定量的阶数大于变化量阶数,可能用夹逼。 固定量的阶数=变化量阶数 ,定积分定义试试(提或凑1/n),要不然就级数求和;单调有界求极限(maybe大题);利用中值定理:拉格朗日 积分中值定理 两个函数乘积的积分中值定理 ;n项连乘的数列 令yn=该数列 然后左右均取ln;

重点递推关系数列 方法一先证数列收敛(常用单调有界)然后令极限为A,带入A=F(A)求解 ;方法二先令A求解 再证明 常用|xn-A|< a|xn-1-A| <….< an-1|x1-A| a在0到1之间就行 方法三 数列收敛等价于xn-xn-1的级数收敛再递推

极限式中的参数 可以先求一个之后建立另一个的等式,之后求极限

无穷小量比较 定义定阶 求导定阶 积分区间0到n阶0,被积函数m阶,总为n(m+1)阶 确定阶数的时候活用奇偶性

连续

间断点:第一类间断点①可去间断点:左右极限存在且相等;②跳跃间断点: 左右极限存在但相等 ;第二类间断点不止两种,有无穷间断点和震荡间断点等

判断间断点的技巧:①分段函数,e的无穷,arctan无穷记得分左右极限; ②找可疑点,分母为零,ln里面是零,分段函数条件边界;

连续函数性质:①有界性:函数在[a,b]上连续,则函数在该闭区间有界; ②最值性:函数 在[a,b]上连续,则函数在该闭区间必有最大值和最小值; ③介值性: 函数 在[a,b]上连续,且fa≠fb,则fa,fb之间任一数C,至少存在一个常数c fc=C; 推论用的多 函数 在[a,b]上连续 则可以取到在 [a,b]上 介于m和M上的任何值;④零点定理:闭区间连续,两头fa*fb<0,则存在一个数c使fc=0;(常用作方程根存在性)

题外话,如下公式即为真理!!!!!

\frac{dt9025a}{yyds} =1